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1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件新人教A版选修2-3-(1)PPT

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  • 素材类别:数学课件PPT
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  • 关键提要:1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件新人教A版选修2-3-(1)PPT,分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件新人教A版选修2-3-(1)PPT
高二一班某寝室有8名同学,他们约定毕业后每年春节要互寄一张贺年卡片,他们一共要消费多少张卡片? 2015年9月,纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵式,外军方队有17个方队,这些方队的出场顺序一共有多少种排法?某城市的电话号码有8位数字,一共能构成多少电话号码?汽车牌照由26个英文字母和10个阿拉伯数字选出五个组成,一共能组成多少辆汽车的牌照号码?……你知道是怎样计数的吗?
本章将系统学习计数原理,学习本章要注意体会有序与无序在计数中的区别,体会建模在数学研究中的作用.
新知导学
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=__________种不同的方法.
2.分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有 m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=_____________种不同的方法.
牛刀小试
1.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,若要求从两类课程中选一门,则不同的选法共有(  )
A.3种   B.4种 
C.7种   D.12种
[答案] C
[解析] 选择课程的方法有2类:从A类课程中选一门有3种不同方法,从B类课程中选1门有4种不同方法,∴共有不同选法3+4=7种.
2.用1、2、3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个.
[答案] 15
[解析] 分三类:第一类为一位整数,有3个;
第二类为两位整数,有12,21,13,31,23,32,共6个;
第三类为三位整数,有123,132,321,312,231,213,共6个,
∴共写出没有重复数字的整数3+6+6=15个.
3.(2015·锦州一中高二期中)从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加,共得________个不同的偶数.
[答案] 4
[解析] 由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数,分两类,
第一类,两个数都是偶数,2+4=6,2+6=8,4+6=10,共得3个偶数,
第二类,两个数都是奇数,1+3=4,1+5=6,3+5=8,共得3个偶数,
∵2+6=3+5,2+4=1+5,
∴从数字1,2,3,4,5,6中取两个相加,共得4个不同的偶数,
故答案为4.
新知导学
3.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=__________种不同的方法.
4.分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=_______________种不同的方法.
牛刀小试
4.已知x∈{2,3,7},y∈{-31,-24,4},则(x,y)可表示不同的点的个数是(  )
A.1    B.3   
C.6    D.9
[答案] D
[解析] 这件事可分为两步完成:第一步,在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法;第二步,在集合{-31,-24,4}中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知,有3×3=9个不同的点.
5.(2015·青岛市胶州高二期中)甲、乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(  )
A.6种  B.12种
C.30种  D.36种
[答案] B
[解析] ∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门,
∴由乘法原理,可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种.故选B.
6.将三封信投入4个邮箱,不同的投法有________种.
[答案] 64
[解析] 第一封信有4种投法,第二封信也有4种投法,第三封信也有4种投法,由分步乘法计数原理知,共有不同投法43=64种.
在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
[分析] 完成这件事,只要两位数的个位、十位确定了,这件事就算完成了,因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类.
[解析] 解法一:按十位数上的数字分别是1、2、3、4、5、6、7、8的情况分为8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.
由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
解法二:按个位数字是2、3、4、5、6、7、8、9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个,所以按分类加法计数原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
[方法规律总结] 应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事,怎样才算是完成这件事.
(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的,无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事.
(3)确立恰当的分类标准,这个“标准”必须满足:一、完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类;二、分别在不同两类中的两种方法不能相同.即不重复,无遗漏.
满足a、b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(  )
A.14       B.13
C.12  D.10
[答案] B
[解析] ①当a=0时,2x+b=0总有实数根,
∴(a,b)的取值有4个.
②当a≠0时,需Δ=4-4ab≥0,∴ab≤1.
a=-1时,b的取值有4个,
a=1时,b的取值有3个,
a=2时,b的取值有2个.
∴(a,b)的取法有9个.
综合①②知,(a,b)的取法有4+9=13个.
已知a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数有多少个?
[分析] 要想确定一个圆,需确定圆心的横坐标a,纵坐标b,圆的半径r,只有当三个量都确定时,这个圆才确定,故应该用分步乘法计数原理求解.
[解析] 圆方程由三个量a、b、r确定,a,b,r分别有3种、4种、2种选法,由分步乘法计数原理,表示不同的圆的个数为3×4×2=24(个).
[方法规律总结] 应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,怎样才算完成了这件事.
(2)完成这件事情需要分成n个步骤,每一步骤都不能完成这件事情,只有各个步骤都完成了,这件事情才能完成.
(3)选取的标准不同,分的“步”也不同,完成这件事的任何一种方法,都要分成若干个步骤.
(1)有5本书全部借给3名学生,有不同的借法________种.
(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践 ,则有不同分配方案________种.
[答案] (1)243 (2)125
[解析] (1)中要完成的事情是把5本书全部借给3名学生,可分5个步骤完成,每一步把一本书借出去,有3种不同的方法,根据分步乘法计数原理,共有N=3×3×3×3×3=35=243(种)不同的借法.
(2)中要完成的事情是把3名学生分配到5个车间中,可分3个步骤完成,每一步分配一名学生,有5种不同的方法,根据分步乘法计数原理,共有N=5×5×5=53=125(种)不同的分配方案.
[点评] (1)中只有当5本书全部确定去向,这件事情才算完成.
(2)中只有当3名学生全部确定去的车间,这件事情才算完成.
现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?
[分析] (1)选一幅国画布置房间,这件事情可以完成,选一幅油画布置房间,这件事情也可以完成,因此完成“选一幅画布置房间”这件事情共分三类.
(2)选一幅国画布置房间,布置房间的任务没有完成,选一幅油画布置房间,布置房间的任务也没有完成,只有国画、油画、水彩画各选一幅都完成后,布置房间的任务才算完成,故完成这件事情需分三步.
(3)“选两种不同种类的画”,可以选国画、油画;也可以选国画、水彩画,如果选了国画、油画,则这件事情已经完成,故用分类加法计数原理,在每一类里选一种画,再选一种画,两种画都选出,这件事情才完成,故用分步乘法计数原理,因此本题应先分类,再分步解决.
[解析] (1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.
(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法.
第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法.
第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法,所以有10+35+14=59种不同的选法.
[方法规律总结] 用两个计数原理解决具体问题时,首先,要分清是“分类”还是“分步”,区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情.其次,要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性;有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或“先分步后分类”.
有三只口袋装有小球,一只装有5个白色小球,一只装有6个黑色小球,一只装有7个红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,共有多少种不同的取法?
[解析] 分为三类:一类是取白球、黑球,有5×6=30种取法;一类是取白球、红球,有5×7=35种取法;一类是取黑球、红球,有6×7=42种取法.
∴共有取法:30+35+42=107(种).
正确理解完成一件事情所需要的步骤或类型
  下图中一共有多少个矩形(顶点不完全相同就视作不同的矩形).
[错解] 按横行进行分类:
第一类,由A行和B行组成的矩形有15个.
第二类,由B行和C行组成的矩形有15个.
第三类,由C行和D行组成的矩形有15个.
由分类加法原理知,不同的矩形共有15+15+15=45个.
[辨析] 完成一个矩形,既要考虑横线由哪两条构成,也要考虑竖线由哪两条构成,只有当两条横线与两条竖线都确定时,这个矩形才算完成,故这是分步乘法计数原理.
[正解] 我们只要在A、B、C、D四条横线中选取2条,在1、2、3、4、5、6这6条竖线中选取两条,就能确定一个矩形,如图中矩形B2D2D5B5是由横线B2B5,D2D5和竖线B2D2、B5D5围成的.
选取横线有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种不同方法,选取竖线有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种不同方法,由分步乘计数原理知,共有不同的矩形6×15=90个.
 

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